《九章算术》中的阳马术 |
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《九章算术》:
今有阳马,广五尺,袤七尺,高八尺。问积几何? 答曰:九十三尺、少半尺。 术曰:广袤相乘,以高乘之,三而一。 |
假设有一个阳马,底广是5尺,长是7尺,高是8尺。问其体积是多少? 答:93 尺。 术:广与长相乘,以高乘之,被3除。 |
按:此术,阳马之形,方锥一隅也。今谓四柱屋隅为阳马。 |
按:此术中的阳马形状,是方锥的一个角隅。今天把一个四柱屋的一个角隅称作阳马。 |
假令广袤各一尺,高一尺,相乘之,得立方积一尺。邪解立方得两堑堵;邪解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑,阳马居二,鳖臑居一,不易之率也。合两鳖臑成一阳马,合三阳马而成一立方,故三而一。验之以棊,其形露矣。悉割阳马,凡为六鳖臑。观其割分,则体势互通,盖易了也。
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假设正方体的底的广、长都是1尺,高1尺。将他们相乘,得到正方体的体积1尺。将1个正方体斜着剖开,得到2个堑堵;将1个堑堵斜着剖开,其中1个是阳马,1个是鳖臑。阳马占2,鳖臑占1,这是永远不变的比率。2个鳖臑合成1个阳马,3个阳马合成1个正方体,所以阳马的体积是正方体的1/3。用棊来验证它,其态势就显露出来了。剖开上述所有的阳马,总共为6个鳖臑。考察它们分割的各个部分,其形体态势都是相互通达的,因此是容易明白的。 |
其棊或修短,或广狭,立方不等者,亦割分以为六鳖臑。其形不悉相似,然见数同,积实均也。鳖臑殊形,阳马异体。然阳马异体,则不可纯合。不纯合,则难为之矣。何则? 按邪解方棊以为堑堵者,必当以半为分,邪解堑堵以为阳马者,亦必当以半为分,一从一横耳。 | 如果这种棊或长或短,或广或窄,是广、长、高不等的长方体,也分割成6个鳖臑。但它们的形状不完全相同,然而只要它们所呈现的三度的数组是相同的,则它们的体积就是相等的。这些鳖臑有不同的形状,这些阳马也有不同的形态。但是,阳马有不同的形态,那就不可能使它们完全重合;不能完全重合,那么,使用上述的方法是困难的。为什么呢?将长方棊斜着剖开,成为堑堵,一定分成两分;将堑堵斜着剖开,成为阳马,也必定分成两分。这些阳马一个是纵向的,一个是横向的罢了。
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设以阳马为分内棊,鳖臑为分外棊,虽或随修短广狭,犹有此分常率,知殊形异体亦同也者,以此而已。其使鳖臑广、袤、高各二尺,用堑堵、鳖臑之棊各二,皆用赤棊。又使阳马之广、袤、高各二尺,用立方之棊一,堑堵、阳马之棊各二,皆用黑棊,棊之赤黑,接为堑堵,广、袤、高各二尺。于是中效其广,又中分其高,令赤、黑堑堵各自适当一方,高一尺,方二尺,每二分鳖臑则一阳马也。其余两端各积本体,合成一方焉。是为别种而方者率居三,通其体而方者率居一。虽方随棊改,而固有常然之势也。按余数具而可知者有一、二分之别,即一、二之为率定矣。其于理也岂虚矣。若为数而穷之,置余广袤高之数各半之,则四分之三又可知也。半之弥少,其余弥细。至细曰微,微则无形。由是言之,安取余哉。数而求穷之者,谓以情推,不用筹算。
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假设把阳马看作剖分的内部,把鳖臑看作剖分的外部。如果即使棊有时是长方形的,或短或长,或广或窄,仍然有这种分割的不变率的话,那么不同形状的鳖臑,不同形态的阳马,其体积公式仍然分别相同,如此罢了。如果使鳖臑的广、长、高各是2尺,那么,使用堑堵棊、鳖臑棊各2个,都用红棊。又使阳马的广、长、高各2尺,那么,用立方棊1个,堑堵棊、阳马棊各2个,都用黑棊。红棊与黑棊,拼合成一个堑堵,它的广、长、高各是2尺。于是,这就相当于从中见剖开了堑堵的广与长,又从中见剖开了它的高。使红堑堵与黑堑堵恰好分别拼合成立方体,高是1尺,底的边长也是1尺。那么,这些立方体中,在原鳖臑中的2份,相当于原阳马中的1份。余下的两端,先各自拼合,再拼合成一个立方体。这就是说,与原堑堵态势不同的立方体所占的率是3,而与原堑堵态势相似的立方体所占的率是1。即使立方体变成了长方体,棊的形状发生了变化,这个结论必定具有不变的态势。按余下的立体中,列举出来并且可以知道其体积的部分属于鳖臑的与属于阳马的有1、2的分别。那么,再整个堑堵中,1与2作为鳖臑与阳马的率就是完全确定的了。在数理上这难道是虚假的吗?若要列出数值而穷尽它,那就取堑堵剩余的部分的广、长、高,平分它们,那么又可以知道其中的3/4以1、2作为率。平分的部分越小,剩余的部分就越细。非常细就叫做细微,细微就不再有形体。由此说来,哪里还有剩余呢?对于数,如果要穷尽它,就是按数理进行推论,不能用筹算。 |
鳖臑之物,不同器用。阳马之形,或随修短广狭。然不有鳖臑,无以审阳马之数,不有阳马,无以知锥亭之类,功实之主也。 | 鳖臑这种东西,与一般的器皿用具不同;阳马的形状,有时底是长方形,或长或短,或广或窄。然而如果没有鳖臑,就没有办法考察阳马的体积;如果没有阳马,就没有办法知道锥亭之类的体积,这是程功积实问题的关键。
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动画演示:阳马术 |